SEMEJANZA DE TRIANGULOS

NOCIONES PREVIAS: Antes de abordar la semejanza de triángulos recordemos la congruencia de figuras geométricas; Decimos que dos o mas figuras geométricas son congruentes cuando tienen exactamente la misma forma y el mismo tamaño. En cuanto se refiere a CONGRUENCIA DE TRIANGULOS: Dos triángulos serán congruentes si sus lados y ángulos correspondientes tienen exactamente la misma medida, es decir cuando se cumplan los siguientes postulados:

Postulado 1 : Correspondencia LAL (Lado-ángulo-lado)

Postulado 2 : Correspondencia ALA (Angulo-Lado-Angulo)
Postulado 3: Correspondencia LLL (Lado-Lado-Lado)
EL CONCEPTO DE SEMEJANZA EN LA VIDA COTIDIANA

En la vida cotidiana al mencionar el término de semejanza, nos preguntamos si estamos haciendo referencia a:
· ¿Objetos que se parecen?· ¿Objetos de igual tamaño?· ¿Objetos de igual forma?· ¿Objetos exactamente iguales?. Tal como vemos en la figura:

Es difícil poder seleccionar una opción que responda correctamente a la pregunta planteada, ya que de acuerdo al contexto de la conversación, el significado y utilización de la palabra semejanza, podría hacer referencia a objetos que se parecen en tamaño, forma o exactamente iguales.
Por ejemplo:

1. El color del libro de Ken es semejante al color del libro de Ed.

2. La pelota de tenis es semejante a la de fútbol.

3. La estatura de Ana es semejante a la de Beto.

4- Los gemelos Quispe son tan semejantes que no es fácil diferenciarlos.

5. La llave que usa el Portero, para abrir la puerta del aula, es semejante a la del auxiliar, etc. Notamos; que en los ejemplos mencionados, el significado de semejanza hace referencia a una característica común entre los objetos o personas, tales como: color, tamaño o forma. Por lo que el uso del concepto de semejanza en el lenguaje cotidiano se refiera al "parecido", en una o más características, que existe entre dos personas u objetos.

EL CONCEPTO DE SEMEJANZA EN MATEMÁTICA.- El concepto de semejanza en matemática está muy ligado al concepto de proporcionalidad. Dos objetos son semejantes, si "guardan" una proporción entre ellos. Veamos algunos ejemplos de la relación existente entre semejanza y proporcionalidad.
1. Un topógrafo desea determinar la distancia entre dos ciudades, para ello utiliza un mapa. Se percata que la escala utilizada en el mapa es de 1:5000 es decir, un centímetro en el mapa representa 5000 metros en la realidad.

2. La construcción de maquetas a escala sean: edificios, aviones, barcos entre otros; requiere de una buena aplicación de los conceptos de semejanza y proporcionalidad, es decir el tamaño de cada una de sus partes debe estar acorde con el tamaño que el objeto tiene en la realidad.

3. Dos fotografías de la misma persona, una de tamaño 10x15 cm. que luego es ampliada a 40x60 cm. Ambas son semejantes y tienen una misma proporción, ya que una es la ampliación de la otra tanto a lo ancho como a lo largo y con una misma razón, es decir: las divisiones de sus lados correspondientes son de igual valor.

Resumiendo: dos figuras son semejantes si guardan una proporción entre cada una de sus partes respectivas.

FIGURAS SEMEJANTES

Dos figuras son SEMEJANTES si:
1. Todos sus ángulos son congruentes o iguales

2. Sus lados HOMOLOGOS, son Proporcionales

Ejemplos de la figura adjunta:
· Todos los triángulos son semejantes entre si

· Todos los cuadrados son semejantes

·Todos los hexágonos regulares son semejantes

SEMEJANZA DE TRIÁNGULOS.-

DEFINICIÓN, Se puede afirmar con lo que ya se conoce, que dos triángulos son semejantes si poseen una misma forma y sus partes guardan una proporción. Es decir: Dos triángulos son semejantes si los ángulos interiores homólogos son congruentes y sus lados homólogos son proporcionales.
Notación: Cuando se dice que el triángulo ABC es semejante ( ~ ) con el triángulo A’B’C’, se escribe: Triángulo ABC ~ Triángulo A’B’C’; de acuerdo a los siguientes criterios:

1.- ANGULOS INTERIORES HOMOLOGOS CONGRUENTES
2.- LADOS HOMOLOGOS PROPORCIONALES
Ahora bien, sería muy tedioso estar verificando para cada par de triángulos estas dos condiciones. Para comprobar si dos triángulos son semejantes existen criterios de semejanza, los cuales ayudan a determinar la semejanza o no de dos triángulos.

Criterios de semejanza

Criterio1: Dos triángulos son semejantes cuando sus ángulos son CONGRUENTES (A-A).
Criterio 2: Dos triángulos son semejantes cuando sus lados son proporcionales (L-L-L).
Criterio 3: Dos triángulos son semejantes cuando dos lados son proporcionales y el ángulo comprendido entre ellos es CONGRUENTE (L-A-L).
PROPIEDADES:
1. Si dos triángulos son semejantes, también son proporcionales los perímetros, las alturas, las medianas y las bisectrices.
2. Si trazamos una recta L secante a un triangulo ABC y paralela a uno de sus lados, se forma una triangulo parcial semejante al triangulo ABC
EJERCICIO RESUELTO

Dado el triángulo cuyos lados miden 3, 4 y 5 cms respectivamente, se desea ampliar a escala 3:1.

SOLUCION:
EJERCICIOS DE APLICACIÓN PROPUESTOS

1. En un mapa la escala es 1:50 000. Si en ese mapa la distancia entre 2 ciudades es de 4 cm. ¿Cuál es la distancia real entre esas dos ciudades?

• a) 2 km • b) 20 km • c) 200 km

2. Los siguientes triángulos son semejantes, de acuerdo al criterio de:

3. Si, 2 triángulos tiene los lados proporcionales, entonces los triángulos son:
• a) iguales • b) semejantes • c) proporcionales
4. Los siguientes triángulos son semejantes, de acuerdo al criterio de:
5. La razón de semejanza de los triángulos se calcula mediante:
• a) restándole la misma cantidad a sus lados
• b) sumándole la misma cantidad a sus lados
• c) dividiendo los perímetros
6. Los siguientes triángulos son semejantes, de acuerdo al criterio de:

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Atte.
Edgar Zavaleta Portillo – Asesoría de Matemática